教會(huì)你的孩子解應(yīng)用題的方法

一、三種關(guān)系

1、整體量＝各部分量的和

這是數(shù)學(xué)中最基本的關(guān)系，這一關(guān)系從小學(xué)數(shù)學(xué)到大學(xué)數(shù)學(xué)都是最重要的，小學(xué)老師們?nèi)绻軓男W(xué)一年級(jí)開(kāi)始就培養(yǎng)學(xué)生這一意識(shí)，那么他們將來(lái)的數(shù)學(xué)一定不會(huì)差。

“整體量＝各部分量的和”的變式是“部分量＝整體量減去其他部分量”

2、整體量＝一份量×份數(shù)

“整體量＝一份量×份數(shù)”是“整體量＝各部分量的和”當(dāng)各部分都相等時(shí)的特例，這是歸一問(wèn)題的本質(zhì)關(guān)系，在學(xué)習(xí)了乘法運(yùn)算后就要有意培學(xué)生的這種意識(shí)。有兩種變形，“一份量＝整體量÷份數(shù)”, “份數(shù)＝整體量÷一份量”。

3、“部分量＝整體量×分率” 有兩種變形，“整體量＝部分量÷分率”, “分率＝部分量÷整體量”。

正是因?yàn)樵S多學(xué)生就是沒(méi)有真正體會(huì)到這一關(guān)系，沒(méi)有對(duì)這一關(guān)系變成自已意識(shí)中的一部分，才使他們怕做應(yīng)用題，才使他們對(duì)數(shù)學(xué)失去了興趣的。雖然到了高年級(jí)大多數(shù)學(xué)生能夠解相應(yīng)的問(wèn)題，但是能從本質(zhì)上理解的學(xué)生不多，因此必然要影響到初中高中剩至大學(xué)的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)老師們千萬(wàn)要加強(qiáng)這個(gè)意識(shí)的培養(yǎng)！

二、吃糖吃瓜子

從具體的、形象的、身邊的東西為對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)在哪個(gè)年級(jí)都是實(shí)用的，只要你對(duì)你所教的數(shù)學(xué)知識(shí)有一個(gè)整體的把握怎么教都行，比如上面我提到的小學(xué)數(shù)學(xué)的三種關(guān)系就是小學(xué)數(shù)數(shù)的靈魂一定要把握好。

例1、左手抓3粒糖，右手抓6粒糖，兩手共抓幾粒糖？

例2、兩手共抓幾13粒糖，知道了左手抓5粒糖，問(wèn)右手抓幾粒糖？

例3、平均1分鐘吃4粒瓜子，則5分鐘吃幾粒？

例4、3分鐘吃15粒瓜子，平均1分鐘吃幾粒瓜子？

例5、3分鐘吃15粒瓜子，問(wèn)5分鐘能吃幾粒瓜子？

例6、小明3分鐘吃15粒瓜子，有一堆瓜子，小明吃5分鐘后還剩下20粒。問(wèn)這堆瓜子原來(lái)有幾粒？

例7、小明3分鐘能吃15粒瓜子，小紅5分鐘能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明與小同時(shí)吃了4分鐘恰好吃完，問(wèn)這堆瓜子原來(lái)有幾粒？

例8、小明3分鐘能吃15粒瓜子，小紅5分鐘能吃20粒瓜子，一堆瓜子，小明與小同時(shí)吃了4分鐘恰好吃完，剩下的部分小明還吃了2分鐘，問(wèn)這堆瓜子原來(lái)有幾粒？

例9、一堆瓜子共60粒，小明先吃掉其中的1/3，接著小紅吃掉剩下的1/5，最后還剩幾粒？

例10、一堆瓜子共60粒，小明5分鐘先吃掉其中的1/3，接著小紅4分鐘吃掉剩下的1/5，最后還剩下瓜子的由兩人同時(shí)吃還要幾分鐘能吃完？

例11、一堆瓜子，小明5分鐘先吃掉其中的1/3，接著小紅4分鐘吃掉剩下的1/5，最后還剩下32粒瓜子，問(wèn)(1) 這堆瓜子原來(lái)有幾粒？(2) 小明與小紅共同吃3分鐘能吃幾粒瓜子？

用這此學(xué)生最常見(jiàn)并且常吃的東西出應(yīng)用題學(xué)生是容易理解的。學(xué)會(huì)了吃糖吃瓜子就可以學(xué)會(huì)算術(shù)了，哪個(gè)年級(jí)都可以用吃糖吃瓜子出題。

三、雞兔同籠

古老“雞兔同籠”問(wèn)題是小數(shù)數(shù)學(xué)中及好的問(wèn)題從低年級(jí)到高年級(jí)可以如下出題：

學(xué)會(huì)了吃糖吃瓜子就可以學(xué)會(huì)算術(shù)了，哪個(gè)年級(jí)都可以用吃糖吃瓜子出題，古老“雞兔同籠”問(wèn)題是小數(shù)數(shù)學(xué)中及好的問(wèn)題從低年級(jí)到高年級(jí)可以如下出題：

例1、一個(gè)籠子里有雞4頭，兔5頭，雞與兔共有與幾條腿？（小學(xué)一年級(jí)）

例2、雞和兔在一個(gè)籠子內(nèi)，籠內(nèi)有兔4頭，雞與兔共有20條腿，問(wèn)雞有幾頭？（小學(xué)一年級(jí)）

例3、雞和兔在一個(gè)籠子內(nèi)，雞和兔共有10頭，其中雞腿12條，求雞和兔分別有幾頭？（小學(xué)二年級(jí)）

例4、雞和兔在一個(gè)籠子內(nèi)，雞和兔共有頭3個(gè)，腿10條，求雞和兔分別有幾頭？（小學(xué)二年級(jí)，可用羅列的方法，直到找出正確的答案）

例4、雞和兔在一個(gè)籠子內(nèi)，雞和兔子共有頭10個(gè)，腿26條，求雞和兔分別有幾頭？

（小學(xué)三年級(jí)）

解1、先用可羅列的方法，直到找出正確的答案。

解2、設(shè)籠子內(nèi)是10頭雞，則只有20條腿，于是要把一些雞換成兔子，變成9頭雞，1頭兔，則有22條腿，變成8頭雞，2頭兔，則有24條腿，變成7頭雞，3頭兔，則有26條腿，就找出正確的答案了。

解3、在解2的基礎(chǔ)上進(jìn)行概括，一頭雞換一頭兔多出2條腿，我們知道26條腿比20條腿多6條腿，因此要把6÷2＝3頭雞換成3頭兔子。本題也可先假設(shè)籠子內(nèi)是10只兔子。

解4、讓每頭雞去掉1條腿，每頭兔去掉2條腿，則26條腿就只剩下了26÷2＝13條腿了，

再讓這10頭雞兔每頭都去掉1條腿，只剩下了13-10＝3條腿了，這恰好是3頭兔子的腿，因此有3頭兔子，7頭雞

解5、請(qǐng)所有的兔子站起來(lái)，讓所有的雞都飛走，留下26-10×2＝6條腿

留下6條腿是兔子的，得到3只兔子，7只雞。

練習(xí)、雞和兔在一個(gè)籠子內(nèi)，雞和兔共有頭100個(gè)，腿280只，求雞和兔分別有幾頭？

在小學(xué)好好學(xué)過(guò)過(guò)雞兔同籠的學(xué)生將來(lái)數(shù)學(xué)一定不差

上了初中可用方程解雞兔同籠問(wèn)題。

四、羊吃草問(wèn)題：

例1、有一草地，假設(shè)每天都生長(zhǎng)一樣多的草，每只羊每天吃一樣多的草。這片草地可供１０只羊吃9０天，或者可以供2０只羊吃3０天．那么35只羊可以吃多少天？

解：設(shè)一只羊1天1份草

則１０只羊吃9０天吃900份草

2０只羊吃3０天吃600份草

900份草減去600份草＝300份草，就是60天草地自然長(zhǎng)出的草，

由此可知，1天草地長(zhǎng)出5份草，3０天長(zhǎng)草150份，原來(lái)草地有450份草。1天草地長(zhǎng)出5份草，恰好夠5頭吃。而原來(lái)草地有450份草夠30頭羊吃15天。

答：35只羊可以吃15天.

例2、工廠的質(zhì)量檢驗(yàn)車(chē)間積壓著部分產(chǎn)品待檢,與此同時(shí),流水線傳送帶按一定速度送來(lái)待檢驗(yàn)產(chǎn)品,如果打開(kāi)一部質(zhì)檢機(jī),需半個(gè)小時(shí)可使待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn),同時(shí)打開(kāi)兩部質(zhì)檢機(jī),只需10分鐘便可將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn).現(xiàn)因生產(chǎn)需要,在5分鐘內(nèi)將待檢產(chǎn)品全部通過(guò)質(zhì)量檢驗(yàn),此時(shí)最少要打開(kāi)幾部質(zhì)檢機(jī)?

解：設(shè)一部質(zhì)檢機(jī)1分鐘檢驗(yàn)1份產(chǎn)品

則半個(gè)小時(shí)可使檢驗(yàn)30份產(chǎn)品

兩部質(zhì)檢機(jī),只需10分鐘可使檢驗(yàn)20份產(chǎn)品

相減得：10份產(chǎn)品，這是20分鐘流水線傳送帶送來(lái)的新產(chǎn)品

所以，傳送帶1分鐘送來(lái)新產(chǎn)品0.5份，積壓著部分產(chǎn)品有30-0.5×30＝15（份）

5分鐘之內(nèi)要檢驗(yàn)15+0.5×5＝17.5

因此要用質(zhì)檢機(jī)17.5÷5＝3.5（部）

答：至少要4部

五、容斥問(wèn)題：

例1、在若干名歌舞演員中,有7人會(huì)唱歌,有6人會(huì)跳舞，有3人既會(huì)唱歌又跳舞，歌舞演員共有多少名

解答：7+6＝13，但是3個(gè)既會(huì)唱歌又跳舞，被算了兩次，因此

歌舞演員有13-3＝10（人）

例2、 求不超過(guò)30的.正整數(shù)中是2的倍數(shù)或3的倍數(shù)的數(shù)共有多少個(gè)。

解：求不超過(guò)30的正整數(shù)中

2的倍數(shù)有2、4、6、…、30共15個(gè)

3的倍數(shù)有3、6、9、…、30共10個(gè)

既是2的倍數(shù)又3的倍數(shù)的（即6的倍數(shù)）有6、12、…、30共5個(gè)

因此答案是15+10-5＝20（個(gè)）

小結(jié)：

（1）一個(gè)群體由兩部分組成，第一部分有a個(gè)元素，第二部分有b個(gè)元素，第一部分與第二部分的公共部分有c個(gè)元素，那么這群體共有

有a+b-c個(gè)元素

（2），第一部分有a個(gè)元素，第二部分有b個(gè)元素，第三部分有c個(gè)元素，第一部分與第二部分的公共部分有d個(gè)元素，第一部分與第三部分的公共部分有e個(gè)元素，第二部分與第三部分的公共部分有f個(gè)元素，三部分的公共部分有g(shù)個(gè)元素，那么這群體共有有a+b+c-d-e-f+g個(gè)元素

上面的結(jié)論叫做容斥原理，有興趣的老師與家長(zhǎng)可以思考一個(gè)群體由4部分組成、5部分組成、……、n部分組成的容斥原理

練習(xí)

1、 某班統(tǒng)計(jì)考試成績(jī)，數(shù)學(xué)得90分上的有25人；語(yǔ)文得90分以上的有21人；兩科中至少有一科在90以上的有38人。問(wèn)兩科都在90分以上的有多少人？

2 、某校組織棋類(lèi)比賽，分成圍棋、中國(guó)象棋和國(guó)際象棋三個(gè)組進(jìn)行。參加圍棋比賽的共有42人，參加中國(guó)象棋比賽的共有51人，參加國(guó)際象棋比賽的共有30人。同時(shí)參加了圍棋和中國(guó)象棋比賽的共有13人，同時(shí)參加了圍棋和國(guó)際象棋比賽的7人，同時(shí)參加了中國(guó)象棋和國(guó)際象棋比賽的11人，其中三種棋賽都參加的3人。問(wèn)參加棋類(lèi)比賽的共有多少人？

3、求1到200的自然數(shù)中不能被2、3、5中任何一個(gè)數(shù)整除的數(shù)有多少？

六、數(shù)數(shù)問(wèn)題

例1、（數(shù)花生）有一堆花生，3個(gè)3個(gè)數(shù)剩1個(gè)，5個(gè)5個(gè)數(shù)剩2個(gè)，7個(gè)7個(gè)數(shù)剩2個(gè)，問(wèn)這一堆花生有幾個(gè)？

解：第1步：從2個(gè)開(kāi)始，2+7＝9，7個(gè)7個(gè)數(shù)剩2個(gè)，3個(gè)3個(gè)數(shù)剩0個(gè)，

第2步：9+7＝16，7個(gè)7個(gè)數(shù)剩2個(gè)，3個(gè)3個(gè)數(shù)剩1個(gè)。

第3步：16+3×7＝37，7個(gè)7個(gè)數(shù)剩2個(gè)，3個(gè)3個(gè)數(shù)剩1個(gè)，5個(gè)5個(gè)數(shù)剩2個(gè)

因此所求的數(shù)是37

當(dāng)然37+3×5×7＝37+105＝142也行

142+105＝247……都行

37符合要求的最小的自然數(shù)

（注意，如果37，用5個(gè)5個(gè)數(shù)不是剩2個(gè)，就把37再上21，直到符合條件為止）

練習(xí)：（韓信點(diǎn)兵）有一隊(duì)士兵，3個(gè)1列剩1個(gè)，5個(gè)一列剩1個(gè)，7個(gè)一列剩2個(gè)，問(wèn)這一一隊(duì)士兵有幾個(gè)人？